3 sin^2*3x+sin6x-cos^2*3x=0

__________________________

$3 {(sin3x)}^{2} + sin6x - {(cos3x)}^{2} = 0 \\ \\ 3 {(sin3x)}^{2} + 2sin3xcos3x - {(cos3x)}^{2} = 0 \\$
__________________________

Разделим обе части на ( cos3x )^2

$\frac{3 {(sin3x)}^{2} }{ {(cos3x)}^{2} } + \frac{2sin3xcos3x}{ {(cos3x)}^{2} } - \frac{ {(cos3x)}^{2} }{ {(cos3x)}^{2} } = 0 \\ \\ 3 {(tg3x)}^{2} + 2tg3x - 1 = 0 \\$
Сделаем замену:
Пусть tg3x = a , тогда

$3 {a}^{2} + 2a - 1 = 0 \\$

D = 2^2 - 4•3•(-1) = 4 + 12 = 16

$a_{1} = - 1 \\ a_{2} = \frac{1}{3} \\$

Обратная замена:

$1) \: \: a = - 1 \\ \\ tg3x = - 1 \\ \\ 3x = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n \\ \\ x = - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \: n}{3}$

n принадлежит Z

$2) \: a = \frac{1}{3} \\ \\ tg3x = \frac{1}{3} \\ \\ 3x = arctg \frac{1}{3} + \pi \: k \\ \\ x = \frac{1}{3} arc tg\frac{1}{3} + \frac{\pi \: k}{3}$

k принадлежит Z
_________________________

ОТВЕТ:
$x = - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \: n}{3}$
$x = \frac{1}{3} arc tg\frac{1}{3} + \frac{\pi \: k}{3}$

n , k принадлежат Z
_________________________