Найти сумму корней, помогите

0 голосов
16 просмотров

Найти сумму корней, помогите


image

Алгебра (381 баллов) | 16 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

ОДЗ: x≠0

{x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } - \frac{5 {x}^{2} + 5}{x} - 4 = 0 \\ \\ {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } - 5x - \frac{5}{x} - 4 = 0 \\ \\ {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } - 5(x + \frac{1}{x} ) - 4 = 0
Замена:

x + \frac{1}{x} = t \\ \\ (x + \frac{1}{x} {)}^{2} = {t}^{2} \\ \\ {x}^{2} + 2 + \frac{1}{ {x}^{2} } = {t}^{2} \\ \\ {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } = {t}^{2} - 2
Полученные выражения подставляем в исходное уравнение и получаем:

{t}^{2} - 2 - 5t - 4 = 0 \\ \\ {t}^{2} - 5t - 6 = 0 \\ \\ t _1 = 6 \\ t _2 = - 1
Обратная замена:

1) \: x + \frac{1}{x} = 6 \: \: | \times x \\ \\ {x}^{2} + 1 = 6x \\ \\ {x}^{2} - 6x + 1 = 0 \\ \\ D = 36 - 4 = 32 \\ \\ x _1 = \frac{6 - \sqrt{32} }{2} \\ \\ x _2 = \frac{6 + \sqrt{32} }{2} \\ \\ x _1 + x _2 = \frac{6 - \sqrt{32} }{2} + \frac{6 + \sqrt{32} }{2} = \frac{12}{2} = 6
Или как альтернатива:
Если просят найти сумму корней, то не решая это уравнение, по теореме Виета:
x _1 + x _2 = 6
Главное, чтобы дискриминант был неотрицательным

2) \: x + \frac{1}{x} = - 1 \: \: | \times x \\ \\ {x}^{2} + 1 = - x \\ \\ {x}^{2} + x + 1 = 0 \\ D = 1 - 4 = - 3 < 0
Корней нет

Ответ:6

(5.7k баллов)