Решить уравнение 1+5+9...+х=630, где х— натуральное число

Левая часть уравнения это арифметическая прогрессия, где первый член $a_1=1$ , разность прогрессии $d=4$ и последний член $a_n=x$

$a_n=a_1+(n-1)d\\ x=1+4(n-1)\\ x=1+4n-4\\ \\ n=\dfrac{x+3}{4}$

По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+x}{2}\cdot\dfrac{x+3}{4}$

Осталось решить уравнение $\dfrac{1+x}{2}\cdot\dfrac{x+3}{4}=630$

$(1+x)(x+3)=5040\\ x^2+4x+3=5040\\ x^2+4x-5037=0$

По теореме Виета имеем корни $x_1=-73;~~~ x_2=69$ , где первый корень посторонний.

Ответ: 69.