Помогите решить логарифмы(с подробным решением пожалуйста). Даю 15 баллов.

Сначала рассмотрю ОДЗ:

-x - 16 > 0,

√(-x) - 4 > 0,

-x > 0.

x < -16

x < 0

ОДЗ: x < -16

Правила для логарифмов, используемые в решении:

$nlog_ab = log_ab^n\\log_ab-log_ac=log_a\frac{b}{c}$

__________________________________

$\frac{1}{2} log_3(-x-16)-log_3(\sqrt{-x}-4 ) =1\\\\ log_3\sqrt{-x-16} -log_3(\sqrt{-x}-4 ) =1 \\\\ log_3 \frac{\sqrt{-x-16}}{\sqrt{-x}-4}=log_33\\\\\frac{\sqrt{-x-16}}{\sqrt{-x}-4} = 3$

Сделаем замену √(-x) = t, тогда -x= t²:

$\frac{\sqrt{t^2-16}}{t-4} = 3\\\\ \frac{\sqrt{t-4}\sqrt{t+4} }{t-4} = 3\\\\ \sqrt{\frac{t+4}{t-4} } =3$

Возведём обе части в квадрат, при таком решении могут возникнуть посторонние корни, их нужно отсеять с помощью ОДЗ (t+4)/(t-4) > 0 или с помощью проверки:

$\frac{t+4}{t-4}=9\\\\ \frac{t+4-9t+36}{t-4}=0\\\\ \frac{40-8t}{t-4}=0\\\\t=5$

Проведём обратную замену:

$\sqrt{-x} =5\\ \\ x=-25$

-25 < -16 (проверка, удовлетворяет ли ОДЗ), следовательно найденный корень подходит.

Ответ: -25