Разделим обе части уравнения на х:
y`+(2/x)y=-3y^2 (*)
1) Решаем однородное:
y`+(2/x)y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dy/y=-2dx/x
ln|y|=-2ln|x|+lnC
y=C/x²
Применяем метод вариации
y(x)=C(x)/x²
y`=(C`(x)·x²-2x·C(x))/x⁴
Подставляем в (*)
(C`(x)·x²-2x·C(x))/x⁴ + 2C(x)/x³=-3(C(x)/x²)²;
С`(x)/x^2=-3(C(x)/x²)²;
Уравнение с разделяющимися переменными:
dC(x)/C²(x)=-3dx/x²
-1/C(x) =-(-3/x)+c
C(x)=-x/(3+xc)
y(x)=-x/(x²·(3+xc))
y(x)=-1/(x·(xc+3))
y(1)=1 ⇒ 1 = - 1/(c+3) ⇒ c+3=-1 ⇒ c=4
y(x)=-1/(x·(4x+3))-ответ.