Кто бы _ что НИ говорил...
Пишется частица НИ и перед ЧТО запятая НЕ нужна.
Попробую объяснить:
Слово ЧТО в данном предложении НЕ подчинительный союз, а относительное местоимение, к которому можно задать вопрос: ни говорил (кого? что?) что. А это значит, что перед местоимением ЧТО запятая НЕ нужна.
По поводу частицы НИ. Дело в том, что вы привели первую часть сложного предложения. Например: Кто бы что нИ говорил , надо сохранять спокойствие. ( в этом предложении 2 мысли, частица НИ стоит в придаточном уступительном предложении, которая начинается со слов КТО БЫ НИ... )
В сложных предложениях (точнее - в СПП) в придаточной части нужно писать частицу НИ, которая имеет значение "много говорили".
Придаточное уступительное предложение в СПП чаще всего начинается с фразы КТО БЫ НИ..... или ЧТО БЫ НИ......
Частица НЕ пишется не в сложных, а в простых предложениях (будет 1 мысль). Часто в таких предложениях в конце ставится вопросительный или восклицательный знак: Кто об этом НЕ говорил?
И значение у частицы НЕ будет другое - "никто НЕ говорил".
То есть, у частицы НИ значение будет "МНОГО и ЧАСТО что-то делали", а у частицы НЕ - значение "НИЧЕГО НЕ делали".