Составляем функцию Лагранжа:
F(x;y;λ)=f(x;y)+λφ(x;y)
Исследуем эту вспомогательную функцию на обычный экстремум.
F(x;y;λ)=4x-3y+λ(x^2+y^2-1)
Находим частные производные и приравниваем их к нулю.
(cм. необходимые условия в приложении)
{4+2λx=0
{-3+2λу=0
{x^2+y^2-1=0
Решаем полученную систему уравнений и находим стационарную точку.
x=-2/λ
y=3/(2λ)
(-2/λ)²+(3/(2λ))²=1⇒λ₁=-2,5 или λ₂=2,5 ⇒ x₁ = 0,8 или x₂ = - 0,8;
y₁ = - 0,6 или y₂= 0,6
Проверяем достаточные условия:
Находим вторые частные производные:
F ` (xx)=2λ; F ` (yy)=2λ; F ` (xy)=F ` (yx)=0
d²F=2λ(dx)²+2*0*dxdy+2λ(dy)^2
При λ=-2,5
d²F < 0⇒ (x₁;y₁) - точка максимума
При λ=2,5
d²F > 0 ⇒ (x₂;y₂) - точка минимума
z(0,8; - 0,6) = 4*0,8-3*(-0,6) = 3,2+1,8= 5 - условный максимум
z(-0,8;0,6) = 4*(-0,8)-3*0,6 = -3,2-1,8 = - 5 - условный минимум