Я буду обозначать корни альфа = А, бета = В, а коэффициенты а и b.
1) a*A^2 + b*A + b = 0
b(A+1) = -a*A^2
-b/a = A^2/(A+1)
2) a*B^2 + a*B + b = 0
b = -a*B*(B+1)
-b/a = B(B+1)
3) A*B = 1
B = 1/A; B+1 = 1/A + 1 = (A+1)/A
Получаем
-b/a = A^2/(A+1) = (A+1)/A*1/A
A^2/(A+1) = (A+1)/A^2
По правилу пропорции
A^2*A^2 = (A+1)(A+1)
A^4 = (A+1)^2
Два варианта возможны:
1) A^2 = A + 1
A^2 - A - 1 = 0
D = 1 - 4(-1) = 5
A1 = (1 - √5)/2; B1 = 1/A1 = (-1 - √5)/2
A2 = (1 + √5)/2; B2 = 1/A2 = (-1 + √5)/2
2) A^2 = -(A + 1)
A^2 + A + 1 = 0
Это уравнение корней не имеет.