Найти число целых решений неравенства

Дано неравенство:

$(\frac{x}{x-1} )^2-\frac{1}{x+1} \leq \frac{2x}{x^3-x^2-x+1}$ .

Раскроем скобки и в правой части знаменатель разложим на множители.

$\frac{x^2(x+1)-(x-1)^2}{(x-1)^2*(x+1)} \leq \frac{2x}{x^2(x-1)-(x-1)} .$

$\frac{x^3+x^2-x^2+2x-1}{(x-1)^2*(x+1)} \leq \frac{2x}{(x-1)(x^2-1)} .$

Разность квадратов в знаменателе правой части разложим и один из множителей соединим с оставшимся.

$\frac{x^3+2x-1}{(x+1)^2*(x-1)} \leq \frac{2x}{(x-1)^2*(x+1)}.$

Перенесём правую часть налево и приведём подобные.

$\frac{x^3-1}{(x-1)^2*(x+1)} \leq 0.$

Разложим в числителе разность кубов.

$\frac{(x-1)*(x^2+x+1)}{(x-1)^2*(x+1)} \leq 0.$

Определяем ОДЗ: х ≠ 1 и х ≠ -1.

Поэтому можно сократить на х - 1.

$\frac{x^2+x+1}{x^2-1} \leq 0.$

Как видим, числитель только положителен (Д < 0 и а > 0).

Значит, имеем только одно решение: х = 0.

При любых других значениях х (с учётом ОДЗ) дробь положительна.