При каком значении параметра а система имеет целочисленные значения?первое уравнение...

$\left\{\begin{array}{I} \sqrt{x^2+y^2-4x+2y+5} + \sqrt{x^2+y^2-20x-10y+125}=10 \\ x^2+y^2-2y=a^2-1 \end{array}}$

преобразуем подкоренные выражения

$x^2+y^2-4x+2y+5=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=(x-2)^2+(y+1)^2\\ x^2+y^2-20x-10y+125=(x^2-20x+100)+(y^2-10y+25)=(x-10)^2+(y-5)^2$

$\left\{\begin{array}{I} \sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-10)^2+(y-5)^2}=10 \\ x^2+(y-1)^2=a^2 \end{array}}$

Первое уравнение - сумма расстояний между точками A=(x; y), B=(2; -1) и A=(x; y), C=(10; 5). Заметим, что расстояние BC равно

$\sqrt{(10-2)^2+(5+1)^2}=\sqrt{64+36}=10$

Значит точка A лежит на BC. Так как решаем в целых числах, то A=(6; 2) - середина отрезка.

Второе уравнение - окружность радиуса |a| с центром (0; 1). Ищем нужные нам радиусы:

$a_1= \pm \sqrt{10^2+(5-1)^2} = \pm 2\sqrt{29} \\ a_2= \pm \sqrt{6^2+(2-1)^2}=\pm \sqrt{37} \\ a_3= \pm \sqrt{2^2+(-1-1)^2}=\pm 2\sqrt{2}$

Ответ: ±2√29, ±√37, ±2√2