Диагонали АС и ВД пересекаются в точке О, разбивая заданный четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника: АВО; ВСО; ДСО и АДО.
Используем теорему Пифагора для каждого треугольника.
ΔАВО: АВ² = АО²+ВО²
ΔДСО: ДС² = СО² + ДО²
Сложим эти выражения АВ² + ДС² = АО² + ВО² + СО² + ДО² (1)
Теперь рассмотрим два других треугольника
ΔВСО: ВС² = ВО² + СО²
ΔАДО: АД² = АО² + ДО²
Сложим эти выражения
ВС² + АД² = АО² + ВО² + СО² + ДО² (2)
Правые части выражений (1) и (2) равны, следовательно, равны и левые части: АВ² + ДС² = ВС² + АД², что и требовалось доказать