(x^2−x+1)^4−5x^2(x^2−x+1)^2+4x^4=0.

Question

(x^2−x+1)^4−5x^2(x^2−x+1)^2+4x^4=0.

Comments

Третий способ. После замены (х^2-х+1)^2=а и х^2=b и получив квадратное уравнение а^2-5ba+4b^2=0 решить его относительно а (там чудесный дискриминант) получим два простых уравнения а=4b и а=b. Вернувшись назад к замене опять же получим два квадратных уравнения х^2-3х+1=0, корни (3-|/5)/2; (3+|/5)/2 и х^2-2х+1=0, корень 1.

---

А, кстати, да!

---

У второго отвечающего они тоже есть при разложении на множители (u-4v)(u-v) и вот здесь приравнять к нулю. И тогда u=4v и u=v и только теперь подставить, тогда избегаем длинных выражений. Записи (х^2-х+1)^2=4х^2 и (х^2-х+1)^2= х^2 выглядят "аккуратней".

---

Ну и избегаем двух "лишних" уравнений.

---

Согласен с Вами . Да и у меня решение тоже поизящнее будет. Ну да ладно;) Понравилось то решение, да и слава Богу;)

Answer 1

Обозначим , :


Раскладываем на множители:


Заменяем обратно u и v и раскладываем на множители первый множитель:


Разбираемся со вторым множителем:


Собираем вместе:


Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Вторая и четвёртая скобка не обращается в 0 ни при каких x, третья при x = 1, первая:


Ответ: ,

Answer 2

(x²-x+1)⁴-5x²(x²-x+1)²+4x⁴=0
разделим обе части на x⁴≠0 (это сделать можно, потому что х=0 не является решением данного уравнения,
что можно проверить подстановкой)

получаем
[(x²-x+1)/х]⁴-5[(x²-x+1)/х]²+4=0

делаем замену
(x²-x+1)/х=у
тогда у⁴-5у²+4=0
(у²-4)(у²-1)=0
у1,2=±2
у3,4=±1

(x²-x+1)/х=у, поэтому
имеем 4 квадратных уравнения

(1) x²-x+1=2х
x²-3x+1=0
х1,2=(3±√5)/2

(2) x²-x+1=-2х
x²+x+1=0
D=1²-4•1•1= -3<0<br>это уравнение
действительных решений не имеет

(3) х²-х+1=х
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x3=1

(4) х²-х+1=-х
х²+1=0
x²=-1
это уравнение
действительных решений не имеет

Ответ:
х1,2=(3±√5)/2
x3=1