Заметим, что обе функции имеют повторяющийся набор чисел 2^2^2 и 9^9^9.
Рассмотрим функцию f(x)= x^x^x (конечный вариант power tower function). Исследуем ее на монотонность.
Она определена для x>0.
Найдем производную методом логарифмирования:
lny= x^x[lnx]
y'/y= (x^x)'lnx + x^(x-1)
(x^x)' находим также логарифмированием, она равняется
(x^x)'= (x^x)(lnx+1)
Таким образом производная двойной степенной башни будет:
y'= (x^x^x)[(x^x)(lnx+1)lnx+x^(x-1)].
y' не может равняться нулю при любом x>0 (из области ее определения). Вынесем за скобки общий множитель x^(x-1), получим:
y'= [x^{x^x+x-1}]*(x(lnx)^2+xlnx+1)
Или
y'= [x^{x^x+x-1}]((lnx^(x^(1/2))^2 + ln(x^x) +1)). Оба множителя не могут быть равны, первый так как x>0. Второй, представляющий собой сумма логарифмов не равняется нулю для каждого x>0 так как первый член - квадрат неотрицательный, второй член ln(x^x) как функция имеет минимум в 1/е и этот минимум равен -1/е, что очевидно меньше единицы, и третий член +1. Таким образом y' не равна нулю для всех x>0.
также y'>0 > Функция y=x^x^x монотонно возрастающая.
Таким образом, для x2>x1, x2^x2^x2 >x1^x^1^x1
Следовательно,а= 99^99^99 >>> b=2^2^2.
Также a>98>b^99, посколько экспонента с большим основанием растет существенно быстрее.
Верхушка 3^3^20 одинакова для обоих чисел.
Итог число 99^99^99^98^3^3^20 больше.
ps позже добавлю фото, чтобы вам удобнее было читать формулы