Какой остаток от деления числа 2018^(8012) ** 312

Question

Какой остаток от деления числа 2018^(8012) на 312

Answer 1

2018⁸⁰¹² ≡ 146⁸⁰¹² (mod 312)

(146²)⁴⁰⁰⁶ ≡ 100⁴⁰⁰⁶ ≡ 10000²⁰⁰³ ≡ 16²⁰⁰³ ≡ 16³ * 16²⁰⁰⁰ ≡ 16³ * (16⁴)⁵⁰⁰ ≡

≡ 16³ * 16⁵⁰⁰ ≡ 16³ * (16⁴)¹²⁵ ≡ 16³ * 16¹²⁵ ≡ 16¹²⁸ ≡ (((16⁴)⁴)⁴)² ≡ 16² ≡ 256 (mod 312)

Ответ: 256

10 ≡ 1 (mod 3) - данная запись означает, что 10 дает такой же остаток как 1 при делении на 3

читается как 10 сравнимо с 1 по модулю 3

Answer 2

Остаток от деления 2018 на 312 равен 146. Поэтому
2018^8012 (=) 146^8012 = (146^2)^4006 = 21316^4006
Здесь и далее знак (=) означает "имеет такой же остаток".
Остаток от деления 21316 на 312 равен 100. Поэтому
21316^4006 (=) 100^4006 = 10000^2003
Остаток от деления 10000 на 312 равен 16. Поэтому
10000^2003 (=) 16^2003 = 16^3*16^2000 = 4096*65536^500
Остаток от деления 4096 на 312 равен 40, а от 65536 опять 16.
4096*65536^500 (=) 40*16^500 = 40*65536^125 (=) 40*16^125 = 40*16*16^124 = 640*65536^31
Остаток от деления 640 на 312, как ни странно, тоже равен 16.
640*65536^31 (=) 16*16^31 = 16^32 = 65536^8 (=) 16^8 = 65536^2 (=) 16^2 = 256
Ответ 256