Рассеянный учитель придумал задачу, но при записывании условия перепутал некоторые числа:...

Question

Рассеянный учитель придумал задачу, но при записывании условия перепутал некоторые числа:
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 5 - автобусом, 23 троллейбусом, 10 - и метро, и троллейбусом, 12 - и метро, и автобусом, 9 - и троллейбусом и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются тремя видами транспорта?

Какое наименьшее количество чисел надо исправить, чтобы условие стало непротиворечивым?

Comments

тут два способа. можно кругами Эйлера а можно арифм.

Answer 1

Сначала разберемся, почему условие противоречиво. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 5 - автобусом, 23 троллейбусом.

20 + 23 = 43 > 30 ⇒ 20 человек пользуются не только метро, но и кто-то из них может пользоваться автобусом и/или троллейбусом. Аналогично, 23 человека пользуются не только троллейбусом, но кто-то из них может пользоваться метро и/или автобусом. Тогда 5 человек пользуются не только автобусом, кто-то из них может пользоваться метро и/или троллейбусом. Но по условию 12 человек пользуются и метро, и автобусом. 12>5 ⇒ тех, кто пользуется автобусом, должно быть не менее 12 человек, что противоречит условию. Противоречивость условия показана на рис. 1

=========================================

Пусть автобусом пользуются 12 человек (наименьшее возможное число). Тогда по условию все эти 12 человек в метро тоже ездят. Нет ни одного человека, который бы использовал только автобус, или использовал автобус/троллейбус (только 2 вида транспорта). По условию 9 человек пользуются для поездок автобусом/троллейбусом, значит, все они ездят в метро тоже (так как нет ни одного человека, использующего 2 вида транспорта).

Итак, тремя видами транспорта пользуются 9 человек.

Двумя видами транспорта пользуются:

автобус/метро : 12 - 9 = 3 человека

метро/троллейбус : 10 - 9 = 1 человек

Всего: 3 + 1 = 4 человека

Одним видом транспорта пользуются

метро : 20 - 12 - 1 = 7 человек

троллейбусом : 23 - 10 = 13 человек

Всего: 20 человек

Тогда в классе должно быль не 30 человек, а

9 + 4 + 20 = 33 человека.

Ответ: в условии можно изменить 2 числа, количество учеников в классе 33 человека, пользуются автобусом 12 человек (рис. 2)

========================================

Чтобы в решении не было нулей, можно в условии изменить другие два числа: пользуются автобусом 15 человек, троллейбусом - 18 человек.

Пусть тремя видами транспорта пользуются Х человек. Тогда уравнение по условию задачи

20 + (15 - 12) + (18 - 9 - 10 + Х) = 30

22 + Х = 30 ⇒ Х = 8 человек пользуются тремя видами транспорта

Answer 2

Решение:

Пусть х человек пользуются ежедневно тремя видами транспорта, тогда только метро и троллейбусом (10-х); только метро и автобусом (12-х); только троллейбусом и автобусом (9-х).

20-(10-х)-(12-х)-х=(х-2) пользуются только метро.

23-(10-х)-(9-х)-х=(х+4) пользуются только троллейбусом.

5-(12-х)-(9-х)-х=(х-16) пользуются только автобусом.

Составим уравнение:

х+(х-16)+(х+4)+(х-2)+(9-х)+(10-х)+(12-х)=30

х+35-18=30

х+17=30

х=13 чел. пользуются тремя видами транспорта, но это противоречит условию, т.к. автобусом пользуются всего 5. Вот и ошибка! Однозначно прийдется изменить число человек которые пользуются автобусом . По мимо этого 13-16=-3 человека пользуются автобусом. По началу я это посчитал нормальным, т.к. в методике по решению таких задач, часто встречается отрицательное значение, и ни кто на это не обращает внимание. Но сам объяснить, чот может означать -3 не смог.

Что мог напутать рассеянный учитель, известно только самому учителю и наверно "господу богу". Единственное понятно, что исправлением одного числа мы не обойдёмся. Нужно исправить, хотя бы два.

Если к примеру на основе решения , которое я написал выше, исправить количество человек, которые пользуются автобусом и троллейбусом, то можно получить очень много задач которые не будут противоречить условию.

Сумма людей которые пользуются автобусом, троллейбусом, метро, и всеми тремя видами транспорта составляет 61 чел. Минимальное количество людей пользующихся автобусом 12. Максимальное количество людей пользующихся троллейбусом 20. Следовательно: Если троллейбусом пользуется 20 чел. то пользователей автобусом может быть: 12;13;14;15;16;17;18;19. чел. Если троллейбусом пользуются 19 чел. то автобусом может быть: 13;14;15;16;17;18;19;20. чел . Если троллейбусом пользуются 18 чел. то пользователей автобусом может быть : 14;15;16;17;18;19;20;21 чел. И.Т.Д.

Если изменить число учеников в классе, на 33, то число пользователей автобусом может быть: 12;13;14;15;16;17;18;19.

Вывод, что, наименьшее число чисел, которое нужно исправить два. Ответ: два числа.