Найдите инфимум и супремум для множества { (( − 1 )^n)*((1/4) − 2/n ) : n ∈ N } . Ответ...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Докажем вначале важное утверждение которым и воспользуемся.

Утверждение:

Пусть А - непустое и не конечное множество, так что $A\subseteq \mathbb R$ . Предположим что существует $x \in \mathbb R$ так что $\forall y \in A \Rightarrow y\leq x$ . Если существует последовательность $(a_n)$ элементов из А выполняющая $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = x$ то $\sup A=x$ .

Доказательство:

Допустим от противного, что $\sup A \ne x$ , тогда существует $z \in \mathbb R$ так что $\forall y\in A \Rightarrow y \leq z \land z < x$ .

Из-за того что $a_n \leq z$ , обязательно выполняется $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \leq z < x$ что противоречит тому что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = x$ .

Следовательно $\sup A = x$ .

Существует эквивалентное утверждение связанное с инфимумом, но доказывать его не буду (оно аналогично прошлому доказательству, но с некоторыми изменениями).

Теперь решим саму задачу:

Заметим что данное множество состоит из элементов последовательности $a_n =(-1)^n \cdot ((1/4)-2/n)$ , а также тот факт что для всех $n\in \mathbb N$ :