Помогите решить 3log^2 основание2(sin πx/3)+log основание2(1-cos 2πx/3)=2 При € Х [1;6]

0 голосов
72 просмотров

Помогите решить
3log^2 основание2(sin πx/3)+log основание2(1-cos 2πx/3)=2

При € Х [1;6]


Математика (27 баллов) | 72 просмотров
0

log(a)_b. a - основание присутствует, а где b - подлогарифмическое выражение

0

Спасибо. Уже понял )

Дан 1 ответ
0 голосов

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(1-cos(2пx/3))=2


ОДЗ:

{sin(пx/3)>0 <=> 6k

{1-cos(2пx/3)>0 <=> x≠3k, тогда

общее ОДЗ: 6k

Так как 1-cos(2x)=2sin²x, то перепишем уравнение:

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(2sin²(пx/3))=2


Замена: t=sin(пx/3)

3log₂²t+log₂(2t²)=2

3log₂²t+log₂2+log₂(t²)=2

3log₂²t+2log₂t-1=0


Замена: z=log₂t

3z²+2z-1=0

(z+1)(3z-1)=0

z=-1 и z=1/3


log₂t=-1 => t=1/2

log₂t=1/3 => t=∛2


sin(пx/3)=1/2

x=1/2+6k, k∈Z (1)

x=5/2+6k, k∈Z (2)


sin(пx/3)=∛2>1, решений нет


Тогда по условию 1≤x≤6, подбираем такие k, при которых условие будет выполняться. Тогда подставляя в (1) и (2) получаем, что на данном промежутке будет один корень - x=5/2.


Ответ: x=5/2.

(913 баллов)