Второй член геометрической прогрессии равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к...

0 голосов
42 просмотров

Второй член геометрической прогрессии равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к сумме ее членов 16/3. Найти сумму первых 3 членов прогрессии.

Алгебра (53 баллов) | 42 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

b_{2} =b_{1}q=4

\frac{{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...b_{n}^{2}}}{b_{1}+b_{2}+...b_{n}}=\frac{16}{3}

Если нужно найти сумму первых 3 членов, то ограничимся n=3

n=3; b_{1}, b_{2}=b_{1}q, b_{3}=b_{1}q^{2}

b_{1}+b_{2}+b_{3}=b_{1}(1+q+q^{2})=b_{1}(q^{2}+q+1)

b_{1}^{2}, b_{2}^{2}=b_{1}^{2}q^{2}, b_{3}^{2}=b_{1}^{2}q^{4}

b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}=b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}+b_{1}^{2}q^{4}=b_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4})

Представим уравнение 4 степени по-другому, выделив полный квадрат:

q^{4}+2q^{2}+1-q^{2}=(q^{2}+1)^{2}-q^{2}=(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)

Из уравнения b_{2}=b{1}q=4 выразим b_{1}:

b_{1}=\frac{4}{q}

Получилось уравнение:

\frac{{b_{1}^{2}(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{b_{1}(q^{2}+q+1)}=\frac{16}{3}

b_{1}\frac{{(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{(q^{2}+q+1)}=\frac{16}{3}

Подставим b_{1}=\frac{4}{q}:

\frac{{4(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{q(q^{2}+q+1)}=\frac{16}{3}

Откуда, сократив на 4 и на (q_{2}+q+1) получаем:

\frac{q^{2}-q+1}{q}=\frac{4}{3}

Домножим обе части на 3q:

3(q^{2}-q+1)=4q

Раскрываем скобки:

3q^{2}-3q+3-4q=0

3q^{2}-7q+3=0

D=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4*3*3=49-36=13

q_{1}=\frac{7+\sqrt{13}}{6}

q_{2}=\frac{7-\sqrt{13}}{6}

далее найдёте сами сумму трёх первых членов

(4.3k баллов)
Похожие задачи