Укажите число Корней(подробнее в вложении)

ОДЗ: $\cos 2x\ne0$

Немного магии: переписываем тангенс в виде отношения синуса и косинуса и используем формулы синуса двойного угла и понижения степени:

$\mathop{\mathrm{tg}} 2x\cdot \sin 4x = \dfrac{\sin 2x}{\cos2x}\cdot2\sin2x\cos2x=2\sin^22x=1-\cos 4x$

cos 4x сокращается, остаётся только

$1-\cos 8x=0\\ 2\sin^24x=0\\ \sin4x=0\\ 2\sin2x\cos2x=0\quad (*)\\ \sin 2x=0$

(*): По ОДЗ cos 2x ≠ 0, на него можно разделить. При этом когда sin 2x = 0, cos 2x = 1 или -1, поэтому лишних корней дальше не возникнет.

Корни sin 2x = 0 на нужном отрезке: 0, π/2, π, 3π/2, 2π – всего 5 корней.