Помогите оладушки. Найти три целых положительных числа, которые образовывают...

Question

152 просмотров

Помогите оладушки. Найти три целых положительных числа, которые образовывают геометрическую прогрессию, такие, что если второе число увеличить на 8, то образуется арифметическая прогрессия, а если после этого увеличить третье число на 64, то снова образуется геометрическая прогрессия.

Математика Ponyashka007_zn (256 баллов) 10 Сен, 18 | 152 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Я хоть и не оладушек, но помогу.

Пусть x; y; z - данные целые положительные числа.

Т.к. они образуют геом. прогрессию, то верно равенство y²=xz.

После увеличения второго числа у на 8 получим ряд х; у+8; z, который образует арифм. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство 2(у+8)=x+z.

Наконец, после увеличения третьего числа z на 64 получим ряд х; у+8; z+64, который образует геом. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство (y+8)²=x(z+64).

Таким образом, получена система уравнений:

$\begin {cases} y^2=xz \\ 2(y+8)=x+z \\ (y+8)^2=x(z+64) \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ (y+8)^2=xz+64x \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ y^2+16y+64=y^2+64x \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ 16y+64=64x \end {cases} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ 2y+16=x+z \\ y+4=4x \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} y^2=xz \\ y=4x-4 \\ z=2y+16-x=8x-8+16-x =7x+8 \end {cases}\\ \Leftrightarrow \begin {cases} (4x-4)^2=x(7x+8) \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} 16x^2-32x+16=7x^2+8x \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases} \Rightarrow \\$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 9x^2-40x+16=0 \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x_1=\frac{4}{9};\ x_2=4 \\ y=4x-4 \\ z=7x+8 \end {cases}$

$x=\frac{4}{9} \notin Z \Rightarrow x=4 \Rightarrow \begin {cases} x=4 \\ y=12 \\ z=36 \end {cases}$

Значит, 4, 12 и 36 - искомые целые положительные числа, которые образуют геом. прогрессию.

Ответ: 4; 12; 36.

artalex74_zn (25.2k баллов) 10 Сен, 18