ПОМОГИТЕ решить в целых числах : x^2-14x+4y^2+32y+88=0

$x^2-14x+4y^2+32y+88=0$

Фраза "в целых числах" позволяет нам использовать разные хитрости при решении. Например, в данном случае, можно выделить полные квадраты в левой части уравнения.

$(x^2-14x+49)+[4y^2+32y+64]-25=0\\ (x-7)^2+[2y+8]^2=5^2$

Сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа. Сразу вспоминается пифагорова тройка (3, 4, 5). Еще возможны варианты, когда содержимое одной скобки равно 5, а другой - нулю. Ну и, конечно же, нужно рассматривать отрицательные значения. Начинаем перебор...

$1) \ 5^2+0^2=5^2\\ x-7=5 \ \Rightarrow \ x=12\\ 2y+8=0 \ \Rightarrow \ y=-4\\ \\ 2) \ 0^2+5^2=5^2\\ x-7=0 \ \Rightarrow \ x=7\\ 2y+8=0 \ \Rightarrow \ y \notin Z\\ \\ 3) \ (-5)^2+0^2=5^2\\ x-7=-5 \ \Rightarrow \ x=2\\ 2y+8=0 \ \Rightarrow \ y=-4\\ \\ 4) \ 0^2+(-5)^2=5^2\\ y \notin Z\\ \\ 5) 3^2+4^2=5^2\\ x-7=3 \ \Rightarrow \ x=10\\ 2y+8=4 \ \Rightarrow y=-2 \\ 6) \ 4^2+3^2=5^2\\ y \notin Z\\ \\ 7) \ (-3)^2+4^2=5^2\\ x-7=-3 \ \Rightarrow \ x=4\\2y+8=4 \ \Rightarrow \ y=-2$
$8) \ 3^2+(-4)^2=5^2\\ x-7=3 \ \Rightarrow \ x=10\\ 2y+8=-4 \ \Rightarrow \ y=-6\\ \\ 9) \ (-4)^2+3^2=5^2\\ y \notin Z\\ \\ 10) \ 4^2+(-3)^2=5^2\\ y \notin Z\\ \\ 11) \ (-4)^2+(-3)^2=5^2\\ y \notin Z\\ \\ 12) \ (-3)^2+(-4)^2=5^2\\ x-7=-3 \ \Rightarrow \ x=4\\ 2y+8=-4 \ \Rightarrow y=-6$

Ответ: (12; -4), (10; -2), (2; -4), (10; -6), (4; -6), (4; -2)