Сумма S существует и конечна. Найдите ее.

Домножим сумму на 16 и вычтем из неё исходную сумму:

$16S=4-3+\dfrac54-\dfrac7{4^2}+\dots+(-1)^{n+1}\dfrac{2n-1}{4^{n-2}}+\dots\\ 16S-S=4-3+\dfrac{5-1}4-\dfrac{7-3}{4^2}+\dots+(-1)^{n+1}\dfrac{(2n-1)-(2n-5)}{4^n}+\dots$

Каждый числитель теперь не зависит от n и равен 4. На эту четверку можно сократить и получится сумма геометрической прогрессии:

$15S=1+\left(1-\dfrac14+\dfrac1{4^2}-\dfrac1{4^3}+\dots\right)=1+\dfrac1{1+\frac14}=1+\dfrac45=\dfrac95$

$S=\dfrac95:15=\dfrac3{25}$