Решить уравнение с пояснением :

При $\sin x\geq 0$ возводим левую и правую части уравнения в квадрат, получаем:

$1-\frac{1}{5} \cos x=\sin^2x\\1-\frac{1}{5} \cos x=1-\cos^2x\\ \cos^2x-\frac{1}{5} \cos x=0\\ \cos x(\cos x-\frac{1}{5} )=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$\cos x=0~~\Rightarrow~~ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$ но ведь с учетом ОДЗ нам нужно 2пк, то есть $\boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$\cos x=\frac{1}{5} \\ x=\pm \arccos\frac{1}{5} +2\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Согласно ОДЗ подходит нам корень $\boxed{x=\arccos\frac{1}{5} +2\pi k,k \in \mathbb{Z}}$