Решите систему неравенств

1 неравенство

11^(x+1) + 3*11^(-x) - 34 ≤ 0

11*11^x + 3/11^x - 34 ≤ 0

Замена 11^x = y > 0 при любом х

11y + 3/y - 34 ≤ 0

Умножаем всё на y

11y^2 - 34y + 3 ≤ 0

D = 34^2 - 4*11*3 = 1156 - 132 = 1024 = 32^2

y1 = 11^x = (34 - 32)/22 = 2/22 = 1/11; x1 = -1

y2 = 11^x = (34 + 32)/22 = 66/22 = 3; x2 = $log_{11}(3)$

x ∈ [ $-1; log_{11}(3)$ ]

Второе неравенство

$log_{2x}(0,25) - log_2(32x) + 1 \leq0$

Область определения: основание логарифма должно быть > 0 и ≠ 1

x > 0; 2x ≠ 1; x ≠ 1/2

Число под логарифмом должно быть > 0 : 32x > 0; x > 0

Есть известное свойство логарифмов: $log_a(b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)}$

$\frac{log_2(1/4)}{log_2(2x)} -log_2(32x)+1\leq 0$

$\frac{-2}{log_2(2)+log_2(x)} -log_2(32)-log_2(x)+1\leq 0$

Замена $z=log_2(x)$

$\frac{-2}{1+z}-5-z+1 = \frac{-2}{z+1} -z-4 \leq 0$

$\frac{-2+(z+1)(-z-4)}{z+1} \leq 0$
$\frac{-2-z^2-5z-4}{z+1} \leq 0$
$\frac{-z^2-5z-6}{z+1} \leq 0$
Умножаем числитель на -1, при этом знак неравенства меняется
$\frac{z^2+5z+6}{z+1} = \frac{(z+2)(z+3)}{z+1} \geq 0$
По методу интервалов
z ∈ [-3; -2] U (-1; +oo)
Делаем обратную замену
$z=log_2(x); x=2^z$
x1 = 2^(-3) = 1/8; x2 = 2^(-2) = 1/4; x3 = 2^(-1) = 1/2
x ∈ [1/8; 1/4] U (1/2; +oo)

Решение всей системы:

{ x ∈ [ $-1; log_{11}(3)$ ]

{ x ∈ [1/8; 1/4] U (1/2; +oo)

$log_{11}(3)$ ≈ 0,46 ∈ (1/4; 1/2)
Промежуток [1/8; 1/4] попадает внутрь промежутка [ $-1; log_{11}(3)$ ]

Ответ: x ∈ [1/8; 1/4]