В левой части уравнения стоит непрерывная, монотонно возрастающая функция с областью определения [max(2, -3a), +∞). При увеличении x её значения становятся больше 5, тогда, чтобы у уравнения было решение, значение этой функции в левой точке области определения x = max(2, -3a) должно быть не больше 5.
Если 2 ≥ -3a (a ≥ -2/3), то область определения функции [2, +∞). Значение в точке x = 2:
![\sqrt{2+3a}\leqslant 5\\ 0\leqslant 2+3a\leqslant 25\\ -2\leqslant 3a\leqslant 23\\ a\in\left[-\dfrac23,\dfrac{23}3\right]](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B2%2B3a%7D%5Cleqslant+5%5C%5C+0%5Cleqslant+2%2B3a%5Cleqslant+25%5C%5C+-2%5Cleqslant+3a%5Cleqslant+23%5C%5C+a%5Cin%5Cleft%5B-%5Cdfrac23%2C%5Cdfrac%7B23%7D3%5Cright%5D++ "\sqrt{2+3a}\leqslant 5\\ 0\leqslant 2+3a\leqslant 25\\ -2\leqslant 3a\leqslant 23\\ a\in\left[-\dfrac23,\dfrac{23}3\right]")
Если a ≤ -2/3, то область определения функции [-3a, +∞). Значение в точке -3a:
![\sqrt{-3a-2}\leqslant5\\ 0\leqslant -3a-2\leqslant25\\ -25\leqslant3a+2\leqslant0\\ -27\leqslant3a\leqslant-2\\ a\in\left[-9,-\dfrac23\right]](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B-3a-2%7D%5Cleqslant5%5C%5C+0%5Cleqslant+-3a-2%5Cleqslant25%5C%5C+-25%5Cleqslant3a%2B2%5Cleqslant0%5C%5C+-27%5Cleqslant3a%5Cleqslant-2%5C%5C+a%5Cin%5Cleft%5B-9%2C-%5Cdfrac23%5Cright%5D+ "\sqrt{-3a-2}\leqslant5\\ 0\leqslant -3a-2\leqslant25\\ -25\leqslant3a+2\leqslant0\\ -27\leqslant3a\leqslant-2\\ a\in\left[-9,-\dfrac23\right]")
Ответ – объединение этих двух промежутков.
Ответ: ![\left[-9,\dfrac{23}3\right]](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft%5B-9%2C%5Cdfrac%7B23%7D3%5Cright%5D+ "\left[-9,\dfrac{23}3\right]")