Найти решение дифференциального уравнения и частное решение удовлетворяющее начальным...

Делается обычным интегрированием

$y''=\int {sin^2(x)} \, dx =\int {\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx =\int {\frac{dx}{2}}-\frac{1}{2} \int {cos(2x)} \, dx=\\ =\frac{x}{2} -\frac{sin(2x)}{4} +C1$

$y'=\int {(\frac{x}{2}-\frac{sin(2x)}{4}+C1)} \, dx =\frac{x^2}{4} +\frac{cos(2x)}{8} +C1*x+C2$

$y=\int {(\frac{x^2}{4}+\frac{cos(2x)}{8}+C1x+C2)} \, dx=\frac{x^3}{12} +\frac{sin(2x)}{16} +\frac{C1}{2}*x^2+C2x+C3$

Решаем задачу Коши с начальным условием

$y(0)=\frac{0}{12}+\frac{sin(0)}{16}+C1*0+C2*0+C3=C3=5$

$y'(0)=\frac{0}{4} +\frac{cos(0)}{8} +0+C2=\frac{1}{8} +C2=1,8=\frac{9}{5};C2=\frac{9}{5} -\frac{1}{8} =\frac{67}{40}$

$y''(0)=\frac{0}{2} -\frac{sin(0)}{4} +C1=C1=0$

$y=\frac{x^3}{12} +\frac{sin(2x)}{16}+\frac{67}{40}*x+5$