Если числитель P и знаменатель Q делятся на d, то и 2000Q - P делится на d.
2000Q - P = 2000n + 4000000m - m - 2000n = 3999999m
m и d не имеют общих делителей (иначе Q - 2000m = n тоже делилось бы на d, что противоречило бы отсутствию общих делителей у m и n). Поэтому d – делитель числа 3999999, значит, d ≤ 3999999.
Пусть d = 3999999, тогда
P = m + 2000n = 3999999k
Q = n + 2000m = 3999999l
Складываем уравнения:
2001(n + m) = 3999999(k + l)
n + m = 1999(k + l)
Вычитаем полученное равенство из первого уравнения:
1999n = 3999999k - 1999(k + l)
n = 2001k - k - l = 2000k - l
Аналогично, m = 2000l - k
d = 3999999, например, при m = 2000 * 3 - 1, n = 2000 * 1 - 3. Надо только проверить, что m и n взаимно просты. Если у них есть общий делитель d > 1, то на d делится и разность m - 3n = 2000 * 3 - 1 - 2000 * 3 + 9 = 8, откуда d – степень двойки. Но n не делится на 2, поэтому НОД(m, n) = 1.
Ответ. 3999999