Решаем систему уравнений, записанную в условии:
Выразим k через x и y (подставим левую часть второго уравнения в правую часть первого)
Считая, что x + y ≠ 0, делим всё уравнение на 13 (x+y):
y*x/(13(x+y))=1
x и y ≡ 13 , потому что число 13 - простое (делится на себя и на 1).
Представим числа x и y в виде
x=13*m, m ∈ N
y= 13*k, k ∈ N
k≠m
Тогда
169* k*m/ 13*13 (k+m) = 1 =>
k*m= k +m =>
k(m-1) = m =>
k=m/(m-1)
Из этого следует, что m ≠ 1
Подставляем k, большее нуля (k и m ∈ N)
1)k=1
m- 1 = m
-1= 0
Данное выражение не имеет смысла
2)k = 2
2 = m/m-1
2m - 2 = m
m = 2
Но k ≠ m, значит, это значение не подходит
3) k= 3
3m-3= m
2m = 3
Но m ∈ N, не подходит
4) k=4
4m - 4 = m
3m= 4
m=4/3 ∉ N
5) k = 5
5m-5 = m
m= 4/5 ∉ N
6) k = 6
m=5/6 ∉ N
Следующие значения m при любом k > 4 будут стремиться к нулю (т.к. m/(m-1) - гипербола) и единственное своё значение она принимает в k = 2.
В таком случае, можно предположить, что одно из чисел (х≡ 13), а другое - нет.
x= 13*m, m ∈ N
13*m*y/ 13* (13m+y) = 1
m*y= 13m + y
m(13-y) = - y
y=m (y-13)
m = y/(y -13)
y > 13
Подставляем m
1) m=1
y-13 = y
-13 ≠ 0
2) m=2
2y -26 = y
y =13 (ОДЗ от знаменателя)
3) m=3
2y = 39
y = 13/3 (∉ N)
4) m=4
4y - 52 = y
3y = 52
y = 52/3 (∉N)
5)m=5
5y -65 = y
y= 65/4
6) m=6
6y - 78= y
5y= 78 (∉ N)
7) m=7
6y- 91 = 0
y= 91/6 (∉ N)
8) m=8
7y=104 (∉N)
9) m= 9
8y= 113
y= 113/8 (∉ N)
10) m = 10
9 y = 130 (∉ N)
11) m=11
10 y = 143
y = 14,3 ()
12) m = 12
11 y = 13*12 (∉N)
13) m = 13
12 y = 169
14) m = 14
13 y = 13*14
y = 14 ( > 13) !!!!
Подставляем значение m и y в изначальное уравнение, не забывая, что x= m*13
(13* 14 * 14)/ 13* (13*14 + 14) = 14*14/14* 14 = 1
Еее ;)
Ответ: x = 182, y = 14 :)
Удачи тебе ;)