По определению, f'(x)=lim(Δx⇒0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.
a) f(x+Δx)=(x+Δx)²-7*(x+Δx)-4=x²+2*x*Δx+(Δx)²-7*x-7*Δx-4, f(x+Δx)-f(x)=2*x*Δx+(Δx)²-7*Δx, [f(x+Δx)-f(x)]/Δx=2*x+Δx-7, f'(x)=lim(Δx⇒0) [2*x+Δx-7]=2*x-7. Ответ: f'(x)=2*x-7.
б) f(x+Δx)=1/(x+Δx), f(x+Δx)-f(x)=-Δx/(x²+x*Δx), [f(x+Δx)-f(x)]/Δx=-1/(x²+x*Δx), f'(x)=lim(Δx⇒0) [-1/(x²+x*Δx)]=-1/x². Ответ: f'(x)=-1/x².
в) f(x+Δx)=√(x+Δx), f(x+Δx)-f(x)=√(x+Δx)-√x, [f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[√(x+Δx)-√x)]/Δx. Умножив теперь числитель и знаменатель этой дроби на выражение √(x+Δx)+√x, приведя подобные члены и сократив числитель и знаменатель на Δx, найдём, что [f(x+Δx)-f(x)]/Δx=1/[√(x+Δx)+√x)], и тогда f'(x)=lim(Δx⇒0) 1/[√(x+Δx)+√x]=1/(2*√x). Ответ: f'(x)=1/(2*√x).