При каких значениях m векторы будут перпендикулярны a=(2;m;-3), b=(1;-2;1)

векторы перпендикулярны, когда косинус угла между ними равен нулю

То-есть их скалярное произведение равно нулю

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left|a\right|\cdot\left|b\right|\cdot\cos{\angle{ab}}\\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left(2;m;-3\right)\cdot\left(1;-2;1\right)=0;\\ 2\cdot1+m\cdot\left(-2\right)+\left(-3\right)\cdot1=0;\\ 2-2m-3=0;\\ 2m=2-3;\\ m=-\frac{1}{2}$

проверим

$2\cdot1-\frac12\cdot(-2)-3=2+1-3=0;\\$

Ответ: $m=-\frac12$