Верно ли, что если (a,b)=(a,c) для любого вектора a (b и c фиксированы), то b=c? Докажите.

Верно.

Из того, что $\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c$ , следует, что $\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=0$ . Подставим $\vec a=\vec b-\vec c$ , получим $(\vec b-\vec c)^2=0$ , откуда $\vec b-\vec c=\vec 0$ , $\vec b=\vec c$