Lim x>0 2x ln(1+x)/sin 5x

Разновидность предела $\lim_{x \to 0} \frac{Sinx}{x}$ , решать будем арифметикой пределов.

$\frac{2x*ln(1+x)}{Sin5x}= \frac{5}{5} \frac{2x*ln(1+x)}{Sin5x}= \frac{5x}{Sin5x} \frac{2*ln(1+x)}{5}$

$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{Sin5x}=1, \lim_{x \to 0} ln(1+x)=0$
Первый предел упомянут выше, второй предел следует из непрерывности функции $f(x)=lnx$ на области определения, следовательно $\lim_{x \to x_0} lnx=lnx_0$ . Отсюда получаем: $\lim_{x \to 0} \frac{2}{5}ln(1+x)=0$

Оба частичных предела определены и существуют на |R, следовательно условия арифметики пределов выполняются и предел произведения равен произведению пределов.
$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{Sin5x} \frac{2*ln(1+x)}{5} =0$