1) 
Условие существования логарифма: 3x + 1 > 0 ⇒ x >
, x > 1 ⇒ x > 1.
По свойству логарифма: logₐb - logₐc = logₐ
при условии существования логарифмов. В нашем случае это тоже работает: данные логарифмы десятичные, значит, в основании 10. Вспомним, что
(также при условии существования логарифма). Сразу вычислим lg1 - чтобы получить из 10 1, нужно 10 возвести в нулевую степень, значит, что 0. Тогда наше уравнение равносильно такому:
Т.к. логарифмическая функция каждое свое значение принимает единожды,
Мы уже ставили условие, что x - 1 > 0, тогда
3x + 1 = (x - 1)²
3x + 1 = x² - 2x + 1
x² - 5x = 0
x(x - 5) = 0
x = 0 или x = 5.
Вспоминаем, что x > 1, и получаем x = 5.
Ответ: 5.
2) 25ˣ - 6 * 5ˣ = -5
Знаем, что 25 = 5², значит, уравнение принимает такой вид:
(5²)ˣ - 6 * 5ˣ = -5
По свойству дробей (5²)ˣ раскрывается, как 5²ˣ, и можем представить в виде (5ˣ)², значит,
(5ˣ)² - 6 * 5ˣ = -5
Пусть t = 5ˣ, тогда
t² - 6t + 5 = 0
t = 1 или t = 5.
Обратная замена:
5ˣ = 1 или 5ˣ = 5, т. е. x = 0 или x = 1.
Ответ: 0; 1.