Докажем, что функция у=k/x при k>0 убывает.
То есть будет выполняться свойство: если х₁y(x₂) .
Будем рассматривать два случая, когда x>0 и когда x<0. <br>Предварительно вспомним, что число а называется большим числа b , если разность (a-b)>0. Число а называется меньшим числа b, если разность (a-b)<0 .<br>
так как в числителе произведение положительных множителей k>0 и
(x₂-x₁)>0 даёт положительное выражение, а в знаменателе тоже произведение положительных множителей х₁>0 и x₂>0 даёт положительное выражение. Поэтому вся дробь положительна.
Получили, что при х₁0 , а значит y(x₁)>y(x₂) , то есть функция убывает (по определению).
2) Теперь рассмотрим, как себя ведёт функция у=k/x при k>0, когда х<0.<br>
0\\\\y(x_1)-y(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k\cdot (x_2-x_1)}{x_1\cdot x_2}\ \textgreater \ 0\; ," alt="x_1\ \textless \ x_2\ \textless \ 0\; \; \to \; \; (x_1-x_2)\ \textless \ 0\; \; \to \; \; (x_2-x_1)\ \textgreater \ 0\; ;\; k>0\\\\y(x_1)-y(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k\cdot (x_2-x_1)}{x_1\cdot x_2}\ \textgreater \ 0\; ," align="absmiddle" class="latex-formula">
так как в числителе стоит произведение положительных выражений k>0 и (x₂-x₁)>0, которое даёт положительное выражение, а в знаменателе произведение двух отрицательных выражений x₁<0 и x₂<0 даёт положительное выражение x₁x₂>0. Значит вся дробь положительна.
Получили, что при x₁<х₂ имеем у(х₁)-у(х₂)>0 , а значит у(х₁)>у(х₂),
то есть функция будет убывающей.
Докажем аналогично, что при k<0 функция у=k/x будет возрастающей.<br>То есть будет выполняться свойство: если х₁Опять рассмотрим два случая, когда х>0 и когда х<0 .<br>
так как в числителе произведение отрицательного k<0 на <br>положительное (х₂-х₁)>0 даст отрицательное выражение. В знаменателе получаем положительное выражение х₁х₂>0. Тогда вся дробь будет отрицательна.
Получили, что при х₁2) Рассмотрим как ведёт себя функция y=k/x при k<0 и х<0.<br>
так как в числителе произведение отрицательного k<0 и положительной разности (х₂-х₁)>0 даст отрицательный числитель.Произведение двух отрицательных множителей х₁<0 и x₂<0 даст положительный знаменатель. Поэтому вся дробь будет отрицательной.<br>Получили, что при х₁Функция возрастает.
3.160.
Графики функций у=k/x - это гиперболы.
Графики всех возрастающих функций расположены во 2 и 4 четвертях.
Графики всех убывающих функций расположены в 1 и 3 четвертях.