Решить Cosx+sinx=√2sin3x

В левой части уравнения применим формулу содержащего доп. угла.

$\sqrt{2} \sin(x+ \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin3x\\ \\ \sin (x+\frac{\pi}{4})-\sin 3x=0\\ \\ 2\sin \dfrac{x+\frac{\pi}{4}-3x}{2}\cos \dfrac{x+\frac{\pi}{4}+3x}{2} =0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\sin \dfrac{x+\frac{\pi}{4}-3x}{2}=0\\ \\ ~\dfrac{x+\frac{\pi}{4}-3x}{2}= \pi k,k \in \mathbb{Z} \\ \\ -2x+\frac{\pi}{4}=2 \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=\frac{\pi}{8}- \pi k,k \in \mathbb{Z}$

$\cos \dfrac{x+\frac{\pi}{4}+3x}{2}=0\\ \\ ~ \dfrac{x+\frac{\pi}{4}+3x}{2}= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ 4x+\frac{\pi}{4}= \pi +2 \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x=3 \pi + \frac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z}$