Модуль вектора a(p+1;-3) равен 5. Найдите p.

Модуль вектора это его длина, она находится по формуле:
$|a|= \sqrt{a^2_x+a^2_y}$
$5^2=(p+1)^2+(-3)^2$
$25=p^2+2p+1+9$
$p^2+2p-15=0$
Это приведенное уравнение , решаем по теореме Виета:
$\left \{ {{p_1+p_2=-2} \atop {p_1*p_2=-15}} \right.$
$p_1 =-5 ; p_2=3$
проверим все ли корни нам подходят:
$5= \sqrt{(-5+1)^2+(-3)^2}$
$5= \sqrt{16+9}$
$5= \sqrt{25}$
$5=5$
$5= \sqrt{(3+1)^2+(-3)^2}$
$5= \sqrt{16+9}$
$5= \sqrt{25}$
$5=5$