Под "неберущимся" интегралом обычно подразумевается то, что первообразную невозможно выразить в элементарных функциях. Но это не значит, что интеграла не существует, или что у него меняется смысл. Просто у нас нет элементарной функции, чтобы выразить этот интеграл.
Часто, когда встречается неберущийся интеграл при исследовании чего-то, его просто обозначают как какую-то функцию или какую-то величину. Хоть для этой новой величины нет выражения в элементарных функциях, ее свойства все равно можно исследовать, имея интегральное выражение.
Функция ошибок - это интегральная функция (функция, заданная в виде интеграла с переменным пределом интегрирования). Неберущихся интегралов множество (можно сказать, что берущиеся - очень малая часть) и преобразованиями интегралы можно приводить к другому виду, и некоторые из них можно привести к выражению, содержащему функцию ошибок. Но это совсем не значит, что все неберущиеся интегралы выражаются через функцию ошибок.
Если вы продолжите изучать матан, то увидите, что берется в элементарных функциях ничтожная часть интегралов. Но потом вам дадут новый аппарат для взятия определенных интегралов (ТФКП), который сильно увеличит ваши возможности интегрирования, но все равно, большая часть интегралов останется неберущимися. Наш препод часто говорил, что человечество умеет дифференцировать (брать производные), для этого есть алгоритм, а вот интегрировать мы не умеем, оно - близко к творчеству.
В физике неберущиеся интегралы берутся приближенно или численно, а иногда и просто остаются как какое-то введенное обозначение за ненадобностью)