А) Перепишем уравнение в виде y'+2y/x+x²=0. Это обыкновенное ЛДУ 1-го порядка, решаем его заменой y=u*v. Тогда y'=u'*v+u*v', и уравнение примет вид u'*v+u*v'+2*u*v/x+x²=v*(u'+2*u/x)+u*v'+x²=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то поступим так с функцией u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'+2*u/x=0, или du/dx=-2*u/x. Отсюда du/u=-2*dx/x, и, интегрируя обе части, находим ln/u/=-2ln/x/. Отсюда u=1/x².Подставляя это выражение в уравнение u*v'+x²=0, получаем уравнение v'/x²+x²=0, или dv/dx=-x⁴. Отсюда dv=-x⁴*dx, и, интегрируя обе части, находим v=-x⁵/5+C. Тогда общее решение y=u*v=-x³/5+C/x². Используя теперь условие y(3)=1, получаем уравнение 1=-27/5+C/9, откуда C=288/5. Тогда искомое частное решение таково: y=-x³/5+288/(5*x²). Ответ: y=-x³/5+C/x², y=-x³/5+288/(5*x²).
б) Полагаем y'=z⇒y''=z' и уравнение принимает вид 2*x*z'=z, или dz/dx=z/(2*x), или dz/z=1/2*dx/x. Интегрируя обе части, находим ln/z/=1/2*ln/x/+1/2*ln(C1), где C1>0 - произвольная постоянная. Отсюда z=√(C1*x), и мы приходим к уравнению z=y'=dy/dx=√(C1*x). Отсюда dy=√(C1*x)*dx, и, интегрируя обе части, находим общее решение y=2/3*√(C1*x³)+C2. Тогда y'=√(C1*x) и мы получаем систему двух уравнений для определения C1 и C2:
8=2/3*√(729*C1)+C23=3*√C1
Решая её, находим C1=1 и С2=-10. Тогда искомое частное решение y=2/3*√x³-10. Ответ: y=2/3*√(C1*x³)+C2, y=2/3*√x³-10.