При каких значениях параметра р уравнение x²+2px+p²+8p+7=0

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет ровно два действительных корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет ровно один корень (так же это можно расценивать как несколько одинаковых). Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

В этом уравнении применим формулу упрощенного дискриминанта, так как коэффициент b четный.
$x^2-2px+p^2+8p+7=0 \\ \frac{D}{4}=p^2-(p/2+8p+7)=-8p-7$
Уравнение имеет два действительных корня, если:
0 \\ 8p<-7 \\ p<-\frac{7}{8}" alt="-8p-7>0 \\ 8p<-7 \\ p<-\frac{7}{8}" align="absmiddle" class="latex-formula">
Уравнение имеет один действительный корень, если:
$-8p-7=0 \\ 8p=-7 \\ p=-\frac{7}{8}$
Уравнение не имеет действительных корней, если:
-7 \\ p>-\frac{7}{8}" alt="-8p-7<0 \\ 8p>-7 \\ p>-\frac{7}{8}" align="absmiddle" class="latex-formula">