Объясните обратную функцию, какой алгоритм? Как я понял: Вытаскиваем "x", "y" же...

Question

51 просмотров

Объясните обратную функцию, какой алгоритм?
Как я понял: Вытаскиваем "x", "y" же становится как обычная переменная для выражения и дальше решаем, в конце просто меняем местами "x" и "y".
Как решить:
1) y = (x - 1)/(2 - 3x);
2) y = 2x^2 - 1/2; (x>=0);
3) Как выбрать D(f), чтобы существовала функция, обратная к функции f(x) = x^2 - 2x + 3
4) Как выбрать D(f), чтобы существовала функция, обратная к функции f(x) = | x - 3 |

Алгебра Orzubek_zn (216 баллов) 01 Июнь, 18 | 51 просмотров

Дан 1 ответ

Maksim2009rus_zn · Answer 1 · 2018-05-31T22:13:25+0000

Для того, чтобы найти обратную функцию к функции $y=f(x)$ , требуется выразить x через y. В самом конце меняем местами x и y и получаем искомую функцию.

$1) \, y= \cfrac{x-1}{2-3x} \\\\ y(2-3x)=x-1;\\\\ 2y-3xy=x-1;\\\\ x ( 1+3y)=2y+1;\\\\ x = \cfrac{2y+1}{1+3y}$

Далее меняем местами х и у и получаем готовую обратную функцию.
$y = \cfrac{2x+1}{3x+1}$

$2) \, y=2x^2 - \cfrac{1}{2}\,; \, (x \geq 0)\\\\ 2x^2=y+\cfrac{1}{2}\,;\\\\ x^2 = \cfrac{y}{2} + \cfrac{1}{4}\,;\\\\ x = \sqrt{\cfrac{y}{2}+\cfrac{1}{4}}$
Здесь, когда берём корень, оставляем только положительную часть, так как по условию x >= 0.
Получим: $y= \cfrac{1}{2} \, \sqrt{2x+1}$

3) D(f) - область определения функции. Исходя из свойств обратной функции, область определения обратной функции равна области значений исходной функции. Область значений исходной функции можно найти, вычислив вершину параболы.
$x_B = \cfrac{-(-2)}{2\cdot1}=1, \,\,\, y_B = y(x_B)=y(1)=1^2-2\cdot1+3=2$
Таким образом, область определения обратной функции должна принадлежать следующему интервалу: $[2; +\infty)$ .
4) Для того, чтобы существовала функция, обратная к функции $y=|x-3|$ , нужно, чтобы она была строго монотонна на всей её области определения. В данном случае у исходной функции есть два участка монотонности: монотонное убывание при $x\leq3$ и монотонное возрастание при $x\geq3$ .
Следовательно, D(f) может быть либо $(-\infty, 3]$ , либо $[3, +\infty)$ .