Дано (вариант 9):
Q = 150 м³/ч – объёмный расход воды;
ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды;
ν = 1,0035*10^(-6) м²/с – кинематическая вязкость воды;
L = 1100 м – длина трубопровода;
d = 400 мм – диаметр трубопровода;
p1 = 3 кг/см² (это неправильно записанная единица измерения, должно быть "кгс/см²", но буду придерживаться того, что дано в условии) – давление в начале линии;
z1 = 2 м – отметка оси в начале трубопровода;
z2 = 1 м – отметка оси в конце трубопровода.
Коэффициенты местных сопротивлений в трубопроводе:
ξ1 = 0,5 – задвижка;
ξ2 = 0,3 – на поворот (всего их три);
ξ3 = 6 – вентиль.
Определить:
Напор H - ?
Давление в конце трубы p - ?
Решение:
В ходе подсчётов я буду подставлять исходные данные в тех елиницах, что в "дано", а в результате буду давать значение в СИ.
Закон сохранения энергии для идеальной несжимаемой жидкости (закон Бернулли) говорит, что полное давление потока в конце трубопровода p_пол2 равно полному давлению в начале трубопровода p_пол1 минус потери давления Δp:
p_пол2 = p_пол1 - Δp
Под полным давлением понимается сумма статического давлния p_ст, динамического давления p_дин и давления p_z, вызванного перепадом высоты z трубопровода относительно нулевого уровня:
p_ст2 + p_дин2 + p_z2 = p_ст1 + p_дин1 + p_z1 - Δp
В исходных данных не указано, какое давление воды дано, но можно утверждать, что указано именно статическое давление, то, которое покажет манометр. Тогда:
p_ст1 = p1 = 3 кг/см² ≈ 3*98100 Па = 294300 Па
p_ст2 = p2 (надо найти)
Площадь поперечного сечения трубы:
S = π*d²/4
S = π*(400 мм)²/4
S ≈ 0,1257 м²
Скорость потока в начале и в конце трубопровода:
W1 = Q / S
W1 = (150 м³/ч) / (0,1257 м²)
W1 ≈ 0,332 м/с
Т.к. площадь сечения трубы не меняется по длине, то скорость потока везде одинаковая:
W2 = W1 = W = 0,332 м/с.
Динамическое давление потока воды:
p_дин1 = ρ*W²/2
p_дин1 = 1000 кг/м³ * (0,332 м/с)²/2
p_дин1 ≈ 55 Па
Т.к. скорость везде одинаковвая, а плотность воды считаем постоянной (несжимаема), то динамическое давление везде одинаковое:
p_дин1 = p_дин2 = p_дин = 55 Па.
Давление, связанное с высотой z:
p_z1 = ρ*g*z1
p_z2 = ρ*g*z2
Вернёмся к уравнению Бернулли, переписав с учётом рассуждений:
p2 + p_дин + ρ*g*z2 = p1 + p_дин + ρ*g*z1 - Δp
p2 = p1 + ρ*g*(z1-z2) - Δp
Осталось определить потери давления Δp:
Потери давления возникают по двум причинам:
- потери на трение;
- потери на местных сопротивлениях.
Определим число Рейнольдса потока воды:
Re = W*d/ν
Re = (0,332 м/с * 400 мм) / (1,0035*10^(-6) м²/с)
Re ≈ 132200.
Число Рейнольдса намного выше критического числа Рейнольдса (для круглых труб Re_кр ≈ 2200), значит режим течения турбулентный.
При развитом турбулентном режиме течения потери давления определим по формуле Дарси – Вейсбаха:
Δpi = ξi * p_дин, где
i – номер участка сопротивления;
ξi – коэффициент местного сопротивления i-го участка.
Для потерь на трение:
ξ_тр = λ*L/d,
λ ≈ 0,025 (для гладких труб при развитом турбулентном режиме течения) – коэффициент потерь на трение по длине.
Итого, потери давления:
1) Задвижка: Δp1 = ξ1 * p_дин
2) Три поворота: Δp2 = 3 * ξ2 * p_дин
3) Вентиль: Δp3 = ξ3 * p_дин
4) Трение: Δp_тр = (λ*L/d) * p_дин
Суммарные потери давления:
Δp = Δp1 + Δp2 + Δp3 + Δp_тр
Δp = ξ1 * p_дин + 3 * ξ2 * p_дин + ξ3 * p_дин + (λ*L/d) * p_дин
Δp = (ξ1 + 3*ξ2 + ξ3 + (λ*L/d)) * p_дин
Δp = (0,5 + 3*0,3 + 6 + (0,025 * 1100 м / 400 мм)) * 55 Па
Δp = (0,5 + 0,9 + 6 + 68,75) * 55 Па
Δp = 76,15 * 55 Па
Δp ≈ 4200 Па.
Вернёмся к уравнению Бернулли:
p2 = p1 + ρ*g*(z1-z2) - Δp
p2 = 294300 Па + 1000 кг/м³ * 9,8 Н/кг * (2 м - 1 м) - 4200 Па
p2 = 294300 Па + 9800 Па - 4200 Па
p2 = 299900 Па ≈ 3,06 кг/см²
Под "напором" часто понимают разные вещи, но давайте я постараюсь наиболее правильный для этого слова вариант написать. Напор H (гидродинамический напор) в конце трубопровода – это отношение его полного давления p_пол2 к произведению ρ*g:
H = p_пол2 / ρ*g
H = (p2 + p_дин + ρ*g*z2) / ρ*g
H = (p2 + p_дин) / ρ*g + z2
H = (299900 Па + 55 Па) / (1000 кг/м³ * 9,8 Н/кг) + 1 м
H ≈ 31,6 м.
Ответ: Статическое давление в конце трубопровода p2 ≈ 3,06 кг/см².
Напор в конце трубопровода H ≈ 31,6 м.
Статическое давление в конце получилось больше статического давления в начале трубопровода p1 = 3 кг/см², т.к. несмотря на наличие потерь в трубе (4200 Па), конец трубы находится на 1 м ниже начала, и к статическому давлению в конце прибавилось давление столба воды высотой 1 м (9800 Па).
Также обращу на незначительность динамического напора (55 Па), им можно пренебрегать в таких задачах, где по широкой трубе под небольшими давлениями течёт вода. Скорость получилась очень маленькой из-за большого диаметра трубы. Поэтому и потери оказались маленькими.
Ремарка: Если же в условии дано полное давление, и просят найти полное давление в конце, то ответ прост: полное давление в конце меньше полного давления в начале на величину потерь (4200 Па) – об этом в самом начале нам сказало уравнение Бернулли.