Помогите) очень срочно) задача Коши для д/у.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Вводим новую функцию $z(x)=\sqrt{y(x)}$ , тогда $y=z^2$ , $y'=2zz'$

$\displaystyle y'-\frac{2xy}{1+x^2}=\frac{4\sqrt y}{\sqrt{1+x^2}}\mathop{\mathrm{arctg}}x\\ 2zz'-\frac{2xz^2}{1+x^2}=\frac{4z}{\sqrt{1+x^2}}\mathop{\mathrm{arctg}}x\\ z'-\frac{xz}{1+x^2}=\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\mathop{\mathrm{arctg}}x$

Замечу, что мы потеряли решение z = 0 (но это не страшно, к этой задаче Коши это не имеет отношения). Получилось линейное уравнение, решаем его методом вариации постоянной.

Решаем однородное уравнение:
$\displaystyle z'-\frac{xz}{1+x^2}=0\\ \frac{z'}z=\frac{x}{1+x^2}\\ \left(\ln z\right)'=(\ln C\sqrt{1+x^2})'\\ z=C\sqrt{1+x^2}$

Полагаем C = C(x) и подставляем найденное решение однородного уравнения в неоднородное:
$\displaystyle C'\sqrt{1+x^2}=\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\mathop{\mathrm{arctg}}x\\ C'=\frac{2\mathop{\mathrm{arctg}}x}{1+x^2}\\C=A+\left.\mathop{\mathrm{arctg}}\right.^2x\\ z(x)=\sqrt{1+x^2}(A+\left.\mathop{\mathrm{arctg}}\right.^2x)\\ \boxed{y(x)=(1+x^2)(A+\left.\mathop{\mathrm{arctg}}\right.^2x)^2}$

Определяем значение постоянной интегрирования A, для этого вычисляем значение функции в точке x = 1:
$\displaystyle y(1)=(1+1^2)(A+\left.\mathop{\mathrm{arctg}}\right.^21)^2=2\left(A+\frac{\pi^2}{16}\right)^2=\frac{\pi^4}{128}\\ A+\frac{\pi^2}{16}=\pm\frac{\pi^2}{16}\\ A\in\left\lbrace0,-\frac{\pi^2}{8}\right\rbrace$

На первый взгляд, получилось два возможных ответа:
$\boxed{y(x)=(1+x^2)\left.\mathop{\mathrm{arctg}}\right.^4x}$
или
$\displaystyle {y(x)=(1+x^2)\left(\left.\mathop{\mathrm{arctg}}\right.^2x-\frac{\pi^2}8\right)^2}$

На самом деле второй ответ – посторонний, z(x) должно принимать только неотрицательные значения, в частности, z(0) = A ≥ 0.

nelle987_zn (148k баллов) 31 Май, 18