В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 6 проведено сечение через середины ребер CC1, AB и AD,...

Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 6 проведено сечение через середины ребер CC1, AB и AD, разделившее куб на два многогранника. Для каждого из них найдите количество вершин, ребер, граней и диагоналей. В многограннике, вершиной которого служит точка А, найдите длину наибольшего отрезка.

Answer 1

Ну, сечением будет НЕправильный пятиугольник. Две его вершины будут лежать на ребрах ВВ1 и DD1 на расстоянии 1 от грани ABCD (это на ответ никак не влияет, поэтому я и не пишу, как это найдено).
Многогранник с вершиной в точке С - это пятиугольная пирамида. У неё 10 ребер, 6 вершин и 6 граней.
Многогранник с вершиной в точке А. В "сравнении с начальным кубом" из 8 вершин он потерял вершину С, но приобрел 5 вершин сечения, всего стало 12 вершин. Все 6 граней куба являются (частично) гранями этого многогранника, "плюс" сечение, всего 7. Так же и ребра - все 12 ребер куба (частично) являются ребрами этого многогранника, "плюс" 5 сторон сечения, всего 17.
Для этого многогранника "наибольший отрезок" очевидно равен большой диагонали куба AC1, то есть 6√3

Comments

Всегда можно проверить себя с помощью теоремы Эйлера (и тут наследил Леонардушка :) ) В - Р + Г = 2; (6 + 6 - 10 = 2; 12 + 7 - 17 = 2)

---

ну, я ошибся, причем в куче мест. Странно, что нет, где себе нарушение поставить.

---

ладно, тогда напишу верно :))) Пусть М - середина AD, E - середина АВ, К середина СС1, ВР = DT = 1, Р и Т - вершины сечения на ВВ1 и DD1. Тогда у многогранника с вершиной С 8 вершин C B D M E K P T, 6 граней MEPKT, MTD, EPB, DTKC, BPKC, CDMEB и 12 ребер CK, CD, CB, DT, DM, BP, BE, и 5 сторон сечения. Диагонали сами считайте.

---

Что касается многогранника с вершиной А, то он "лишился" не одной вершины, а 3 (С, B, D) из 8, и приобрел 5, стало 10, потерял 2 ребра (ВС и DC) из 12, и приобрел 5, стало 15, с гранями все верно +1 от сечения всего 7 (10 + 7 - 15 = 2)... с наибольшим отрезком все верно. Диагонали считайте сами, я и не знаю, что это :)))) (видимо это отрезки, соединяющие вершины, так, что они только концами принадлежат поверхности многогранника, а целиком кроме концов лежат внутри).