Площадь основания a^2; диагональ основания a*корень(2). Это - основание треугольника, который - диагональное сечение. Треугольник этот равнобедренный (боковые стороны - ребра пирамиды). Высота этого треугольника, проведенная к основанию - это высота пирамиды. Обозначим ее Н.
Получаем а^2 = Н*a*корень(2)/2; получается, что Н тоже равно a*корень(2).
Теперь надо найти апофемы боковых граней.
Выберем какую-то сторону основания и проведем в боковой грани, её содержащей, апофему. Проекция этой апофемы перпендикулярна этой стороне, потому что лежит в плоскости, которая перпендикулярна этой стороне - а именно, плоскости, в которой лежат апофема и высота пирамиды (каждая из этих прямых перпендикулярна этой стороне). Следовательно, апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованной высотой пирамиды и отрезком, выходящим из центра квадрата в основании и препендикулярным стороне. Такой отрезок, очевидно, равен а/2. Легко сосчитать, что апофема m равна
m = a*корень(2 + 1/4) = a*корень(9/4) = а*3/2.
Площадь боковой грани составит m*a/2 = a^2*3/4, всего боковых граней 4.
Ответ. Боковая поверхность равна 3*a^2