1. While explaining that law the teacher demonstrated some models. Объясняя этот закон, учитель продемонстрировал некоторые модели.
explaining - Participle I - функция обстоятельства - продемонстрировал как? - объясняя
2. The little plump woman standing at the window is my grandmother.
Маленькая пухленькая женщина, стоящая у окна-моя бабушка.
standing - Participle I - функция определения (женщина какая? стоящая у окна)
3. A letter sent from St. Petersburg today will be in Moscow tomorrow.
Письмо, отправленное сегодня из Санкт-Петербурга, завтра будет в Москве. sent - Participle II - функция определения (письмо какое? - отправленное)
4. The girl putting the book on the shelf is the new librarian. Девушка, положившая книгу на полку - это новый библиотекарь.
putting - Participle I - функция определения (девушка какая? - положившая книгу)