Тихая моя родина, (1) ты не даёшь мне стареть и врачуешь душу своей зелёной тишиной. (2)
Точка (2) ставится в конце повествовательного, невосклицательного предложения, которое содержит законченное сообщение.
Запятой (1) выделено обращение (к родине: Тихая моя родина).
Схема: [О, = и =].
(Больше знаков препинания нет, потому что это простое предложение, имеющее два однородных сказуемых (не даешь стареть, врачуешь), которые связаны союзом И).