Часто - наречие, обстоятельство.
Сестрица - существительное, подлежащее.
Просила - глагол, первая часть сказуемого.
Меня - местоимение, дополнение.
Поиграть - глагол, вторая часть сказуемого.
С ней - местоимение, дополнение.
Почитать - глагол, сказуемое.
Ей - местоимение, дополнение.
Книжку - существительное, дополнение.
Рассказать - глагол, сказуемое.
Что-нибудь - местоимение, дополнение.