А шапка осталась лежать в сугробе.
а) а - союз,
(что?) шапка - имя существительное,
(что сделала?) осталась - глагол,
(что делать?) лежать - глагол,
в - предлог,
(где?, в чём?) (в) сугробе - имя существительное
б) (что?) шапка - подлежащее,
(что сделала?) осталась лежать - сказуемое.
в) осталась (в чём?) в сугробе - П.п.;
лежать (в чём?) в сугробе - П.п.