Помогите решить логарифмическое неравенство,пожалуйста! (с развернутым решением...

Question

Дано ответов: 2

skvrttt_zn · Answer 1 · 2018-05-30T10:03:09+0000

$\displaystyle\mathtt{\log_{\frac{3x-4}{x+1}}(2x^2-3x)\geq\log_{\frac{3x-4}{x+1}}(17x-20-3x^2)}$

сначала выведем ограничения на основание логарифмов, а уже затем – на их показатели

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{\frac{3x-4}{x+1}\ \textgreater \ 0}\atop{\frac{3x-4}{x+1}\neq1}}\right\left\{{{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\ \textless \ -1}\\\mathtt{x\ \textgreater \ \frac{4}{3}}\end{array}\right}\atop{3x-4\neq1+x}}\right\left\{{{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\ \textless \ -1}\\\mathtt{x\ \textgreater \ \frac{4}{3}}\end{array}\right}\atop{x\neq\frac{5}{2}}}\right}$
$\mathtt{x\in(\infty;-1)U(\frac{4}{3};\frac{5}{2})U(\frac{5}{2};+\infty)}$ — ограничения на основания логарифмов

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{2x^2-3x\ \textgreater \ 0}\atop{17x-20-3x^2\ \textgreater \ 0}}\right\left\{{{x(2x-3)\ \textgreater \ 0}\atop{3x^2-17x+20\ \textless \ 0}}\right\left\{{{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\ \textless \ 0}\\\mathtt{x\ \textgreater \ \frac{3}{2}}\end{array}\right}\atop{\left\{{{x\ \textgreater \ \frac{5}{3}}\atop{x\ \textless \ 4}}\right}}\right}$
$\mathtt{x\in(\frac{5}{3};4)}$ — ограничения на показатели логарифмов

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{x\in(\infty;-1)U(\frac{4}{3};\frac{5}{2})U(\frac{5}{2};+\infty)}\atop{x\in(\frac{5}{3};4)}}\right}$
$\mathtt{x\in(\frac{5}{3};\frac{5}{2})U(\frac{5}{2};4)}$ — ОДЗ неравенства

теперь, работая на области допустимых значений, можно опустить основания логарифмов

$\displaystyle\mathtt{2x^2-3x\geq17x-20-3x^2;~5x^2-20x+20\geq0;~x^2-4x+4\geq0;~}\\\mathtt{(x-2)^2\geq0,~\to~x=2}$

окончательный ответ уже включён в ОДЗ, поэтому интервалы не поменяются. ОТВЕТ: $\mathtt{x\in(\frac{5}{3};\frac{5}{2})U(\frac{5}{2};4)}$