Сторона правильного треугольника вписанного в окружность с радиусом R, равна: а)R корень...

Соединим центр (точку О) вписанной окружности с вершинами правильного треугольника. Рассмотрим ΔАОВ. АО=ВО=R, ∠АОВ=180°-30°-30°=120°, АВ=а.
По теореме косинусов:

$a^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot cos120^\circ \\\\a^2=2R^2+2R^2cos60^\circ \\\\a^2=2R^2(1+ \frac{1}{2} )\\\\a^2=2R^2\cdot \frac{3}{2}\\\\a^2=3R^2\\\\a=R\sqrt3$